Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Недвижимость arrow Двухшарнирные и бесшарнирные арки. Кольцевые системы

Двухшарнирные арки

Двухшарнирная арка представляет собой шарнирно опертый криволинейный стержень, причем обе его опоры являются неподвижными (рис.1).

Рис. 1

Такая арка является один раз статически неопределимой. Действительно, в ее опорах возникают четыре реакции - две вертикальных и две горизонтальных, а уравнений равновесия для арки можно составить только три.

Как показал опыт расчета, наибольшие внутренние усилия и напряжения возникают в середине пролета арок такого типа. Поэтому двухшарнирные арки часто конструируют таким образом, чтобы жесткость в центре пролета была выше, чем на опорах (рис.2). Например, для арок кругового очертания закон изменения момента инерции сечения по длине криволинейного стержня можно задать следующим:

(1)

где - момент инерции сечения на оси симметрии арки, n- некоторый положительный параметр. Очевидно, при n=0 жесткость арки оказывается постоянной по ее длине.

Рис. 2

Здесь значения угла меняются от до и являются отрицательными на левой половине арки и положительными на правой. Расчет двухшарнирных арок будем выполнять методом сил. Основную систему образуем отбрасыванием горизонтальной связи на одной из опор и заменой ее действия неизвестным усилием (рис.3).

Рис. 3

Задачу, эквивалентную исходной, получим из основной системы, поставив дополнительное условие - отсутствие перемещений по направлению отброшенной связи . Неизвестное усилие найдем из классического уравнения метода сил:

(2)

коэффициенты которого определяются по формулам Максвелла-Мора (7.7) :

(3)

(4)

Здесь интегралы берутся по длине L криволинейного стержня арки, а остальные обозначения - стандартные, принятые в методе сил.

Таким образом, при расчете двухшарнирной арки используется алгоритм классического метода сил для один раз статически неопределимой стержневой системы, т.е. определяются законы изменения изгибающих моментов в основной системе для грузового и вспомогательного состояний и соответственно, по формулам (3) и (4) вычисляются коэффициенты разрешающего уравнения метода сил (2), решением которого является неизвестное усилие в одной из опор.

Окончательные эпюры моментов в арке строятся по формуле

(5)

Остальные реакции в опорных связях находятся из уравнений равновесия.

Так, составив условие равенства нулю суммы проекций всех сил на горизонтальную ось, получим:

(6)

где - - сумма проекций внешних сил на горизонтальную ось х. Если горизонтальная составляющая нагрузки отсутствует, то горизонтальные реакции в обеих опорах оказываются равными, а сами эти реакции, как известно, представляют собой возникающий в системе распор.

Вертикальные реакции определяются из условия равенства нулю суммы проекций всех сил на вертикальную ось y и суммы моментов всех сил относительно точки А:

(7)

(8)

где -сумма проекций всех внешних сил на вертикальную ось, а - сумма моментов всех внешних сил относительно точки А.

Рис. 4

После того, как определены опорные реакции, перерезывающие и продольные усилия в арке находятся точно также, как в статически определимой трехшарнирной арке по формулам:

; (9)

(10)

где угол наклона касательной к оси арки в данной точке (рис.4). Для арок кругового очертания

Рис. 5

Наибольшие сложности при выполнении расчета возникают при вычислении криволинейных интегралов в (3) и (4). В случае арки кругового очертания длина бесконечно малого участка арки dL связана с бесконечно малым приращением угла зависимостью (рис.5).

Рис. 6

Рассмотрим вспомогательное состояние основной системы (рис.6). Легко убедиться, что вертикальные реакции в опорах арки будут отсутствовать, а изгибающий момент в сечениях арки определяется по формуле . Таким образом выражения (3) и (4) приобретают вид:

(11)

(12)

Интегралы (11) и (12) могут быть вычислены различными способами. В случае арки постоянной жесткости и достаточно простой нагрузки (т.е. при простом виде функции ) может быть использовано аналитическое вычисление интегралов. В более сложных случаях - численное интегрирование, например при помощи математических пакетов типа MathCad.

Рис. 7

Рис. 8

В качестве примера рассмотрим расчет полукруглой арки постоянной по длине жесткости, изображенной на рис.7.

В грузовом состоянии в опорах арки возникают вертикальные реакции величиной каждая (рис.8). В результате, изгибающий момент на правой половине арки составит:

.

На левой половине арке с учетом того, что угол отрицательный, изгибающий момент окажется равным

.

После подстановки этого выражения в (11) и (12), с учетом того, что

,

получим:

 и

.

Т.к. жесткость арки постоянна, внутренние усилия в ней не зависят от величины EI. Задав EI=1 с помощью пакета MathCad получим:

и.

Отсюда следует: и , и, в соответствии с (3), величина распора составит .

Далее, в соответствии с (5) получим выражение для изгибающего момента на правой половине арки:

;

Рис. 9

и на левой половине арки:

Зная теперь все реакции в опорах арки (горизонтальный распор , вертикальная реакция ), найдем продольное и перерезывающее усилия по формулам (9) и (10) (рис.9). Напомним, что при выводе формул (9) и (10) положительными направлениями и считаются такие направления, при которых соответствующие им внутренние усилия будут положительными (рис.х.6). Результаты расчетов для левой половины арки приведены в таблице1. Решение на правой половине арки можно построить, исходя из симметрии задачи.

Таблица 1. Результаты расчета

Угол

Изгибающий момент

Перерезывающее усилие

Продольное усилие

-90

0

-31,83

-50,00

-75

-65,34

-17,80

-56,53

-60

-92,16

-2,57

-59,21

-45

-78,63

12,85

-57,86

-30

-25,66

27,39

-52,57

-15

+63,1

40,06

-43,69

0

+181,7

50,00

-31,83

Эпюры внутренних усилий для рассматриваемой арки приведены на рис.10-рис.12.

Рис.11 Рис.12

Рис.10 Рис.11 Рис.12

Как и следовало ожидать, на опорах значение перерезывающего усилия равно распору, а продольных усилий- вертикальным реакциям опор. В то же время значение продольного усилия на оси арки равно распору.

Рис. 13

Величина максимального изгибающего момента в простой балке на двух опорах, перекрывающей тот же пролет 10м и находящейся под действием такой-же нагрузки (рис.13) составит , что заметно выше, чем в арке. Как и в трехшарнирной арке, это связано с положительным влиянием арочного распора.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ
Двухшарнирные и бесшарнирные арки. Кольцевые системы