Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Педагогика arrow Высшая математика

Операционное исчисление

Функция f (t) называется оригиналом, если она удовлетворяет условиям:

  • 1) f (t) непрерывна или кусочно непрерывна в (0; +);
  • 2) для всех t0: f (t) =0;
  • 3) f (t) функция ограниченного роста, возрастает не быстрее показательной функции, то есть существуют такие постоянные M0 и S00, что для всех t:

Изображением f (t) по Лапласу называется функция f (p) комплексного переменного , определяемая равенством:

Обозначает:

Читается: является изображением f (t) Свойства и основные теоремы Лапласа.

1. Теорема линейности.

Если , то а С1 и С2 - постоянные, то С1 F (p) + C2Ф (p).

2. Теорема подобия.

Если , то а постоянная.

3. Теорема смещения.

Если , то

4. Теорема запаздывания.

Если , то

5. Теорема дифференцирования оригинала.

Если , то ;

и т.д.

6. Теорема интегрирования оригинала.

Если , то

7. Теорема дифференцирования изображения.

Если , то

8. Теорема интегрирования изображения.

Если и существует, то

9. Теорема о свертке.

Сверткой двух оригиналов называется:

Если

и то

10. Интеграл Дюамеля.

Если и то

или,

Таблица изображений по Лапласу.

  • 1) 2) 3) 4)
  • 5) 6) 7) 8)
  • 9) 10)
  • 11) 12)
  • 13) 14) 15)

Примеры нахождения изображений.

1. Найти изображений Преобразуем

По таблице:

По теореме линейности:

2. Найти изображение .

По таблице

Воспользуемся теоремой дифференцирования.

Изображения:

Примеры нахождения оригинала по изображению - правильная рациональная дробь. Эту разлагаем на сумму элементарных (простейших) дробей, а затем по таблице находим по изображению оригинала.

1)

Найти . Находим А, В, С, Д.

Сравниваем коэффициенты при соответствующих степенях х:

р3А + В + С = 0, А = -

р2-2А + В - С + Д = 0, В =

р4А + 4В - 2С - Д = 1, С =

р0-8А + 4В - 2Д = = -

Если - правильная рациональная простые корни р1, р2, …, рn, то можно применить формулу Хевисайда:

2)

Найти .

Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методам.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

(1)

Надо найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям:

(2)

Пусть и .

Применим к обеим части (1) преобразование Лапласа и используя теорему о дифференцирование оригинала и линейности, перейдем от дифференциального уравнения (1) с начальными условиями (2) к операторному уравнению (3)

(3)

Находим решение операторного уравнения:

(4)

По находим оригинал - функцию , которая является решением задача (1) - (2).

Пример.

1. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям:

Пусть , тогда ,

.

Получаем операторного уравнение

отсюда

По изображению находим . Для этого разложим дробь на сумму простейших.

При

Тогда и

.

2. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям:

Пусть , тогда ,

Пусть , тогда ,

Получим соответствующую систему операторных уравнений:

Находим решение этой системы. Для этого воспользуемся методам Крамера.

По изображению , находим и по , находим .

тогда

.

тогда

.

Задание для самостоятельной работы

1.1 - 1.20. Вычислите неопределенные интегралы.

Решать неопределенных интегралов.

  • 1.1 а) б) в) г) д)
  • 1.2. а) б) в)
  • г) д)
  • 1.3 а) б) в) г)
  • д)
  • 1.4 а) б) в) г)
  • д)
  • 1.5 а) б) в)
  • г) д)
  • 1.6. а) б) в) г)
  • д)
  • 1.7 а) б) в) г)
  • д)
  • 1.8 а) б) в) г)
  • д)
  • 1.9 а) б) в) г)
  • д)
  • 1.10 а) б) в) г)
  • д)
  • 1.11 а) б) в)
  • г) д)
  • 1.12 а) б) в) г)
  • д)
  • 1.13. а) б) в) г)
  • д)
  • 1.14. а) б) в) г)
  • д)
  • 1.15. а) б) в) г)
  • д)
  • 1.16. а) б) в) г)
  • д)
  • 1.17. а) б) в) г)
  • д)
  • 1.18. а) б) в) г)
  • д)
  • 1.19. а) б) в) г)
  • д)
  • 1.20. а) б) в)
  • г) д)
  • 2.1 - 2.20. Вычислить несобственный интеграл.
  • 2.1 а) б)
  • 2.2 а) б)
  • 2.3 а) б)
  • 2.4 а) б)
  • 2.5 а) б)
  • 2.6 а) б)
  • 2.7 а) б)
  • 2.8 а) б)
  • 2.9 а) б)
  • 2.10. а) б)
  • 2.11. а) б)
  • 2.12. а) б)
  • 2.13. а) б)
  • 2.14. а) б)
  • 2.15. а) б)
  • 2.16. а) б)
  • 2.17. а) б)
  • 2.18. а) б)
  • 2.19. а) б)
  • 2.20. а) б)
  • 3.1 - 3.20. Вычислить площадь, ограниченную линями:
  • 3.1
  • 3.2
  • 3.3
  • 3.4
  • 3.5
  • 3.6
  • 3.7
  • 3.8
  • 3.9
  • 3.10.
  • 3.11.
  • 3.12.
  • 3.13.
  • 3.14.
  • 3.15.
  • 3.16.
  • 3.17.
  • 3.18.
  • 3.19.
  • 3.20.
  • 4.1 - 4.20. Определить длину дуги кривой:
  • 4.1 ,
  • 4.2
  • 4.3
  • 4.4
  • 4.5
  • 4.6
  • 4.7
  • 4.8
  • 4.9
  • 4.10.
  • 4.11.
  • 4.12.
  • 4.13.
  • 4.14.
  • 4.15.
  • 4.16.
  • 4.17.
  • 4.18.
  • 4.19.
  • 4.20. ;
  • 5.1 - 5.20. Определить объем тела, образованного вращения фигуры, ограниченном линиями.
  • 5.1 вокруг оси Ох
  • 5.2 вокруг оси Ох
  • 5.3 вокруг оси Ох
  • 5.4 вокруг оси Ох
  • 5.5 вокруг оси Ох
  • 5.6 вокруг оси Ох
  • 5.7 вокруг оси Ох
  • 5.8 вокруг оси Ох
  • 5.9 вокруг оси Оу
  • 5.10. вокруг оси Оу
  • 5.11. вокруг оси Ох
  • 5.12. вокруг оси Ох
  • 5.13. вокруг оси Ох
  • 5.14. вокруг оси Ох
  • 5.15. вокруг оси Ох
  • 5.16. вокруг оси Ох
  • 5.17. вокруг оси Оу
  • 5.18. вокруг оси Оу
  • 5.19. вокруг оси Оу
  • 5.20. вокруг оси Оу
  • 6.1 - 6.20. Найти частные производные второго порядка функции z = f (x; y).
  • 6.1
  • 6.2
  • 6.3
  • 6.4
  • 6.5
  • 6.6
  • 6.7
  • 6.8
  • 6.9
  • 6.10.
  • 6.11.
  • 6.12.
  • 6.13.
  • 6.14.
  • 6.15.
  • 6.16.
  • 6.17.
  • 6.18.
  • 6.19.
  • 6.20.
  • 7.1 - 7.20. Найти экстремум функции z = f (x; y).
  • 7.1
  • 7.2
  • 7.3
  • 7.4
  • 7.5
  • 7.6
  • 7.7
  • 7.8
  • 7.9
  • 7.10.
  • 7.11.
  • 7.12.
  • 7.13.
  • 7.14.
  • 7.15.
  • 7.16.
  • 7.17.
  • 7.18.
  • 7.19.
  • 7.20.
  • 8.1 - 8.20. Найти общий интеграл или общее решение дифференциальных уравнений первого порядка.
  • 8.1. а)
  • б)
  • в)
  • 8.2. а)
  • б)
  • в)
  • 8.3. а)
  • б)
  • в)
  • 8.4. а)
  • б)
  • в)
  • 8.5. а)
  • б)
  • в)
  • 8.6. а)
  • б)
  • в)
  • 8.7. а)
  • б)
  • в)
  • 8.8. а)
  • б)
  • в)
  • 8.9. а)
  • б)
  • в)
  • 8.10. а)
  • б)
  • в)
  • 8.11. а)
  • б)
  • в)
  • 8.12. а)
  • б)
  • в)
  • 8.13. а)
  • б)
  • в)
  • 8.14. а)
  • б)
  • в)
  • 8.15. а)
  • б)
  • в)
  • 8.16. а)
  • б)
  • в)
  • 8.17. а)
  • б)
  • в)
  • 8.18. а)
  • б)
  • в)
  • 8.19. а)
  • б)
  • в)
  • 8.20. а)
  • б)
  • в)
  • 9.1 - 9.20. Найти общее решение или общий интеграл дифференциальных уравнений второго порядка.
  • 9.1 а)
  • б)
  • 9.2 а)
  • б)
  • 9.3 а)
  • б)
  • 9.4 а)
  • б)
  • 9.5 а)
  • б)
  • 9.6 а)
  • б)
  • 9.7 а)
  • б)
  • 9.8 а)
  • б)
  • 9.10. а)
  • б)
  • 9.11. а)
  • б)
  • 9.12. а)
  • б)
  • 9.13. а)
  • б)
  • 9.14. а)
  • б)
  • 9.15. а)
  • б)
  • 9.16. а)
  • б)
  • 9.17. а)
  • б)
  • 9.18. а)
  • б)
  • 9.19. а)
  • б)
  • 9.20. а)
  • б)
  • 10.1. - 10.20. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
  • 10.1.
  • 10.2.
  • 10.3.
  • 10.4.
  • 10.5.
  • 10.6.
  • 10.7.
  • 10.8.
  • 10.9.
  • 10.10.
  • 10.11.
  • 10.12.
  • 10.13.
  • 10.14.
  • 10.15.
  • 10.16.
  • 10.17.
  • 10.18.
  • 10.19.
  • 10.20.
  • 11.1 - 11.20. Найти изображения функций.
  • 11.1
  • 11.2
  • 11.3
  • 11.4
  • 11.5
  • 11.6.
  • 11.7
  • 11.8
  • 11.9
  • 11.10
  • 11.11
  • 11.12
  • 11.13.
  • 11.14.
  • 11.15.
  • 11.16.
  • 11.17.
  • 11.18.
  • 11.19.
  • 11.20.
  • 12.1 - 12.20. Решить дифференциальное уравнение операционным методом.
  • 12.1
  • 12.2
  • 12.3
  • 12.4
  • 12.5
  • 12.6
  • 12.7
  • 12.8
  • 12.9
  • 12.10.
  • 12.11.
  • 12.12.
  • 12.13.
  • 12.14.
  • 12.15.
  • 12.16.
  • 12.17.
  • 12.18.
  • 12.19.
  • 12.20.
  • 13.1 - 13.20. Решить систему дифференциальных уравнений операционных методам.
  • 13.1
  • 13.2
  • 13.3
  • 13.4
  • 13.5
  • 13.6
  • 13.7
  • 13.8
  • 13.9
  • 13.10.
  • 13.11.
  • 13.12.
  • 13.13.
  • 13.14.
  • 13.15.
  • 13.16.
  • 13.17.
  • 13.18.
  • 13.19.
  • 13.20.
 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ
Высшая математика