Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Педагогика arrow Высшая математика

Функции нескольких переменных. Область определения.

Предел. Непрерывность.

Функцией двух перемен называется правило, по которому каждой паре действительных чисел (х, у) Д, соответствует одно определенное действительное значение переменной .

При этом х и у называются независимыми переменными (или аргументами), z - зависимой переменной (или функций), а множество Д - область определения, а Е - множество значений функции. Записываются: z= =f (x; y).

Графиком функции двух переменных z=f (x; y) в прямоугольной системе координат в пространстве является некоторая поверхность.

Аналогично определяется функция любого числа переменных x= f (x, y, z,.,t).

Окрестностью точки P0 (x0; y0) Расм

называется внутренность круга с

центром в этой точке. Если радиус

круга равен , то говорят

- окрестность точки. Очевидно,

что любая точка P (x; y), принадлежащая

- окрестность точки P0 (x0; y0), находится

от этой точке на расстоянии меньшим .

Определение. Число А называется пределом функции двух переменных z=f (x; y) = f (P) при РР0, если для любого числа Е0 найдется такая - окрестность точки P0 (x0; y0), что для любой точки P (x; y) этой окрестности (за исключением, быть может, точки P0) имеет место неравенство

Е или Е,

Записывают или

Функция двух переменных называется бесконечно малой при РР0, если ее предел равен нулю, то есть . Определение. Функция двух переменных z=f (x; y) = f (P) называется непрерывной в точке Р0, если она определена в этой точки и ее окрестность и

или .

Точка Р0 называется точкой непрерывности этой функции.

Если в точке Р0 функция неопределена, или то Р0 называется точкой разрыва.

Производные и дифференциалы функции нескольких переменных.

Для функции двух переменных z=f (x,y) зафиксируем у, положив у=у0. разность называется частным по х функции z=f (x,y) в точке P0 (x0y0), а если зафиксировать х положив х=х0, то разность называется частным приращением по у для этой функции в точке P0 (x0y0).

Определение. Частной производной от функции z=f (x,y) по независимой переменной х называется производная

Частной производной по у называется производная

;

При вычисления частных производных применяются правило и формулы дифференцирования, справедливые для дифференцирования функции одного переменного. Во всех этих правилах и формулах при нахождении частной производной по какому-либо аргументу все остальные аргументы считаются постоянными.

Пример. Найти частных производные функции z=f (x,y) = х23-3ху+5

Решение.

Полным приращением функции z=f (x,y) в точке P0 (x0; y0) называется разность где Дх и Ду приращения аргументов функции. Функции z=f (x,y) называется дифференцируемой в точке P (x; y), если в этой точке полное приращение, представило в виде

(1)

где Дх и Ду приращение аргументов х и у в некоторой точке P (x; y), А и В постоянные, независящие от Дх и Ду, - бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояния между точками P (x; y) и то есть

Определение. Главная часть приращения функции t=f (x,y) линейно относительно Дх и Ду, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz.

Из определения имеем (2) Величины А и В не зависят от Дх и Ду, но зависят от точки P (x; y), в которой этот дифференциал рассматривается, то есть является функцией от х и у.

Теорема. Если функция z=f (x,y) в точке P (x,y) дифференцируемо, то она имеет в точке первые частые производные и причем,

Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращением, то есть . (3)

На основании теоремы (2) и (3), получаем формулу для вычисления полного дифференциала:

Аналогично определяется частные производные первого порядка и полный дифференциал функции трех переменных.

Частные производные функции нескольких переменных являются функциями тех же переменных. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка.

Функции двух переменных z=f (x,y) имеет четыре частных производных второго порядка

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и более высокого порядка.

Частная производная второго порядка и более высокого порядка, взятая по нескольким различным переменным, называется смешенной частной производной:

и т.д.

Теорема. Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны.

Таким образом: и т.д.

Дифференциалом второго порядка от функции z=f (x,y) называется дифференциал от ее полного дифференциала, то есть: d2z = d (dz).

В общем случае: dnz = d (dn-1z).

Полный дифференциал второго порядка вычисляется по формуле:

вообще имеет место символическая формула:

Пример. Найти частные производные второго порядка функции z=3cos (x2+y2).

Решение. Для функции двух переменных z=f (x,y) могут быть указаны четыре частные производные второго порядка, а именно:

Находим эти частные производные:

Экстремум функции двух переменных.

Пусть функция двух переменных z=f (x,y) задано в некоторой области D.

Определение. Функция двух переменных z=f (x,y) =f (Р0) имеет в точке P0 (x0; y0) из области D максимум (минимум), если существует токая окрестность этой точки, что для всех точки P (x,y) из этой окрестности, отличных от точки P0 выполняется неравенство.

f (P0) f (P) (f (P0) f (P)).

Точка P0, в которой z=f (Р) имеет максимум (или минимум) называется точкой максимума (или минимума). Общее название для максимума и минимума - экстремум.

Теорема 1 (необходимый признак существования экстремума). Если P0 (x0; y0) есть точка экстремума функции z=f (x,y), то в предложением, что указанные производные существуют в этой точке P0 (x0; y0).

Точки из области определения функции двух переменных, в которых первые частные производные равны нулю, или не существуют, называется критическими точками этой функции.

Из теоремы 1 следует, что точки экстремума функции искать среди ее критических точек. Однако не всякая критическая точка будет являться точкой экстремума, т.е. теорема 1 не является достаточным признаком.

Теорема. Пусть

и

тогда, если:

1) то f (x0,y0) =zmax при А ,

f (x0,y0) =zmin при А

  • 2) то экстремума нет в критической точке P0 (x0; y0)
  • 3) = то экстремума может быть, а может и не быть (сомнительной случай).

Пример. Найти экстремумы функции z = 2x3-xy2+5x2+y2.

Решение. Находим первые частные производные z = 6x2-y2+10x, z =-2xy+zy. Приравнивая эти производные нулю, после элементарных преобразования приходим к системе уравнений:

Р1 (0; 0), Р2 (), Р3 (1;4) и Р (1; - 4).

Теперь найдем второе частные производные.

1) Р1 (0; 0).

А = 10, В = 0, С = 2.

= АС - В2 = 20 0, А = 10 0. Р0 (0; 0) - точка минимума, а zmin = 0.

2) Р2 ()

А = 12В=0

С = - 2 , 0,

в точке Р2 экстремум нет.

3) Р3 (1;4)

А = 12 + 10 = 22, В = - 8, С = - 2.1 + 2 = 0

= АС - В2 = 22.0 - ( - 8) 2 = - 64 0, в точке Р3 экстремум нет.

4) Р4 (1; - 4)

А = 12 +10 = 22, В = 8, С = - 2 + 2 = 0

= АС - В2 = - 64 0, в точке Р4 экстремум нет.

Итак, данная функция имеет экстремум в точке P1 (0; 0) - минимум

f (P1) = 0.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ
Высшая математика