Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Педагогика arrow Высшая математика

Неопределенные интегралы.

F (x) = f (x) или f (x) dx = F (x) + C

F (x) - первообразная для f (x), C - постоянная

Свойства неопределенного интеграла

  • 10. f (x)
  • 20. d f (x) dx
  • 30. dF (x) = F (x) + C
  • 40. K f (x) dx = Kf (x) dx, K - постоянная
  • 50. dx = f (x) dx g (x) dx h (x) dx
  • 60. f (x) dx = F (x) + C и u= (x), то f (u) du = F (u) + C

Таблица основных интегралов

  • 1. dx = x +C
  • 2. xn dx= , n - 1, n - постоянная
  • 3.
  • 4. =
  • 5.
  • 6. , k - постоянная
  • 7.
  • 8.
  • 9.
  • 10.

высшая математика уравнение интеграл

  • 11.
  • 12.
  • 13.
  • 14.
  • 15.

Непосредственное интегрирование и замена переменной в неопределенном интеграле.

  • 1.
  • 2.

Интегрирование по частям.

Интегрирование рациональных дробей.

Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена.

ax2 + bx + c = a (x+

Интегралы называются интегралами от простейших дробей. Интегрирование дробно - рациональных функций

а) Если n m, тогда

где - неправильная дробь.

L n - m - целая часть под интегральной дроби, она выделяется делением числителя на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен, а - правильная рациональная дробь.

б) Если n m, тогда - правильная рациональную дробь. Любая правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на линейные и квадратичные множителем вида:

где трехчлены имеют комплексные сопряжённые корни, можно представить в виде суммы простейших дробей следующим образом:

(1)

где Ai, Bi, Mi, Ci, Di, … - некоторые числа. В этом разложении для каждого множителя в разложении знаменателя Qm (x) записывается столько простейших слагаемых дробей, каково его кратность (m, k, n, s, …). Неопределенные коэффициенты Ai, Bi, Mi, Ci, Di, … находится методом сравнения, либо методом подстановки.

После разложения на элементарные дроби по формуле (1) интегрирование всякой правильной рациональной дроби сводится к нахождению интегралов вида:

  • 1)
  • 2) (m 1),
  • 3) 2 - 4q 0),
  • 4) 2 - 4q 0) -

этот интеграл берется проще с помощью тригонометрических подстановках.

Интегрирование тригонометрических функций.

  • 1) Интегралы вида :
    • а) если показатель степени n - нечет положительный, m - любые число, то применяется подстановка sinx = t;
    • б) если показатель степени m - нечетный положительный, n - любые число, то применяется подстановка cosx = t;
    • в) если оба показатель степени m и n - четные положительные числа, то следует применять формулы понижения степени:

sin2x = cos2x=

г) если сумма показателей (n+m) - нечетная, m, n, то применяется подстановка tgx = t (или ctgx = t), x = arctg t,

sinx = , cosx = dx =

  • 2) Интегралы вида где m 0, целая, берутся подстановкой tgx = t, x = arctgt; dx =
  • 3) Интегралы вида где R - рациональная функция, приводится к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной подстановки tg В результате этой подстановки имени

sinx = cosx = , dx=.

Таким образом

4) Интегралы и берутся с помощью тригонометрических формул:

Интегрирование некоторых иррациональных функций.

1.

где НОК - наименьшее общее кратное.

  • 2.
  • 3. Тригонометрические подстановки.
  • а)
  • б)
  • в)
  • г)
 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ
Высшая математика