Застосування визначених інтегралів

Обчислення площ

Якщо на відрізку [а,b] функція f (х)0, то згідно з форму-лою (4), обчислення площі криволінійної трапеції, зображеної на малюнку 1, можна знайти за формулою

Якщо на відрізку [a, b] функція f (х)0, то криволінійна тра-пеція, обмежена кривою f (х), відрізком [а, b] та прямими х = а і х = b, буде розташована нижче осі 0х. Визначений інтеграл у цьому випадку буде 0. Але площа є невід'ємною величиною, тому площу криволінійної трапеції, розташованої нижче осі 0х, треба знаходити за формулою

або (f(x)0)

Якщо f (х) на відрізку [а,b] декілька разів змінює свій знак, то інтеграл по відрізку [а,b] треба розбити на суму інтегралів по част-кових відрізках. Інтеграл буде додат-ним на тих відрізках, де f (х) 0 та від'ємним там, де f (х)<0. Інтеграл по відрізку [а,b] дає різницю площ, що лежать вище та нижче осі 0х (дивись Малюнок 2).

Щоб одержати суму площ (без врахування розташування відносно осі 0х) треба знайти суму абсолют-них величин інтегралів по часткових

Мал. 2

відрізках або обчислити інтеграл від абсолютного значення функції, тобто

Приклад 1. Обчислити площу фігури, обмеженої еліпсом

Розв'язування. Із аналітичної гео-метрії відомо, що цей еліпс має вигляд такий, як на Малюнку 3.

Шукана площа S дорівнює 4S1, де S1 -- площа заштрихованої частини еліпса, що розташована у першому квадранті. Отже,

Із рівняння еліпса знаходимо у:

Мал. 3.

Для заштрихованої частини еліпса у0, тому і ми одержуємо

(1)

Заміна x = sin t дає: dx = cost · dt; t = arcsin x,

tB = arcsin1 = .

Отже,

За формулою (13) одержимо S = 8 · (квадратних одиниць).

Якщо треба обчислити площу фігури, обмеженої кривими y = f1(х), y=f2(х) та прямими х = а, х = b (дивись, наприклад, Малюнок 4), то при f1(х)f2(х) її можна знайти за формулою

(14)

Мал. 4

Приклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями

та

Розв'язування. Спочатку зобразимо фігуру, площу якої треба знайти (Мал. 5). Знайдемо точку перетину цих парабол. Ко-ординати точок перетину задовольняють обом рівнянням, тому

Мал. 5

Отже, площа заштрихованої фігури буде

(квадратних одиниць).

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Загрузить   След >