Методи наближеного обчислення

Для деяких неперервних надінтегральних функцій f (х) первісну не можна виразити елементарними функціями. У цих випадках обчислення визначного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца неможливе.

Крім того, у практичній діяльності часто досить знати лише наближене значення визначеного інтеграла і знаходити це набли-жене значення такими методами, які дозволяють використовувати сучасну обчислювальну техніку.

Тому математики багатьох країн розробляють ефективні методи наближеного обчислення визначеного інтеграла.

Найбільш часто використовують три методи -- метод прямо-кутників, метод трапецій та метод парабол (метод Сімпсона).

Якщо відрізок інтегрування [а,b] поділити на n рівних частин довжиною і позначити через середню точку відрізку визначений інтеграл можна обчислити за фор-мулою

(10)

яку називають формулою прямокутників. Чим більше буде n, тим менше буде крок і права частина (10) буде давати більш точне значення інтеграла.

Якщо поділити відрізок інтегрування точками ділення

а = х0 < x-1 < х2 < ... < хk < ... < хn-1 < хk = b

на n рівних частин довжиною i позначити значення функції в точках ділення fk), тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою

(11)

яку називають формулою трапецій. Легко бачити, що при зростанні n крок зменшується, тому значення інтеграла буде більш точним.

Якщо відрізок інтегрування [а,b] поділити на парну кількість рівних частин (тобто n = 2m) i позначити уk = f (xk), де xk = а + х·k -- точки ділення, k = 0, 1, ..., 2m, тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою

(12)

яку називають формулою Сімпсона. Ця формула дає більш точне значення визначеного інтеграла тому, що для її доведення вико-ристовується метод парабол, за яким на кожному відрізку [xk-1, xk] три значення функції f (х) входять до інтегральної суми.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Загрузить   След >