Інтегрування частинами

Якщо проінтегрувати обидві частини рівності

d[u(x) · v(x)] = v(x)du(x) + u(x)dv(x)

в межах від а до b, то одержимо

Звідси одержуємо важливу формулу інтегрування частинами визначеного інтеграла.

(8)

Приклад 2. Обчислити інтеграл xcosxdx.

Розв'язування. Нехай u = x, dv = cosxdx , тоді знаходимо du = dx, (взята первісна без сталої С). Застосовуючи до заданого інтеграла формулу (8), одержимо

Заміна змінної у визначеному інтегралі

Теорема 4. Нехай задано інтеграл , де f (х) неперервна на відрізку [а,b]. Зробимо підстановку х = (t), аt?, де (t) неперервно диференційована функція на відрізку [,?].

Якщо: 1 при зміні t від до ? змінна х змінюється від а до b, тобто (а)= а, (?) = b;

2 складна функція f[(t)] визначена і неперервна на відрізку [,?], тоді має місце рівність

(9)

Доведення. Нехай F(x) деяка первісна для функції f (х), тоб-то F'(X) = f (х). Розглянемо складну функцію F [(t)]. Застосовуючи правило диференціювання складної функції, одержимо

Це означає, що функція F[(t)] є первісною для функції

Звідси, за формулою Ньютона-Лейбніца і рівностей () = a та (?) = b, одержуємо

що й треба було довести.

Приклад 3. Обчислити .

Розв'язування. Нехай t = , тоді t2 = 1 + хх = t2 - 1, dx= 2tdt. Знайдемо межі інтегрування, використовуючи рівність

Отже,

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Загрузить   След >