Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Вища математика

Обчислення потрійних інтегралів в декартових і циліфндричних кординатах

1. Поняття потрійного інтеграла

Розглянемо в просторі деяку замкнену область . Нехай в області і на її границі визначена деяка неперервна функія , де - прямокутні координати. Розіб'ємо просторову область довільним чином на частин:

Об'єми цих частин позначимо через .

В кожній області виберемо довільну точку і позначимо через значення заданої неперервної функції в точці .

Складемо інтегральну суму

Оскільки функція є неперервною в області , а сама область є замкненою і обмеженої, то існує скінченна границя останньої інтегральної суми незалежно від способу розбиття області на частини і від способу вибору точок при умові. Що максимальний діаметр області прямує до 0 і називається ця границя потрійним ітегралом від функції по області , тобто;

Елементарний об'єм , тому

2. Властивості потрійних ітегралів

Якщо , - стала величина, то ,

де - об'єм області . Зокрема при дістаємо:

- це геометричне тлумачення потрійного інтеграла.

Але якщо функція , то потрійний інтеграл не має геометричного тлумачення оскільки не має геометричного чотиривимірної системи координат.

Якщо , то

Оскільки , то

(Теорема про середнє значення)

Якщо функія є непервною в кожній точці області , то існує така точка , що

,

де - об'єм області

3. Обчислення потрійного інтеграла

Нехай просторова область задовільняють таким умовам:

  • 1. Будь-яка пряма, паралельна до осі проведемо через довільну точку області паралельна поверхні, яка обмежує тіло в двох точках
  • 2. Вся область проектується на площину в правильну двовимірну область

Тоді область із правильною тривимірною областю.

Для таких областей обчислення потрійного інтеграла зводиться до обчислення одною однократною і одною подвійною, або трьох однократних.

П-1 Обчислити

4. Потрійний інтеграл в циліндричних координатах

Циліндричними кординатами точки через числа , де і - полярні координати.

,

де - модуль Якобіана перетворене, який має вигляд:

Тоді потрійний інтеграл в циліндричних координатах

Добуток визначає елементарний об'єм в циліндричних координатах.

Обчислити потрійний інтеграл

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ
Вища математика