Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами

Прості властивості модулів неперевності

Цей параграф носить допоміжний характер. Тут встановлюється декілька простих властивостей модуля нерперывности вищих порядків. Всі функції f1, що розглядаються тут, f2 ... - безперервні.

ЛЕМА 1. Для будь-якого натурального до і будь-якого dі0

(2.1)

Доказ: за визначенням

Лема доведена.

ЛЕМА 2. Хай f і l -натуральные числа, l<k. Тоді для будь-якого dі0

(2.2)

І (2.3)

Доказ: Покладемо

Тоді для 0Јl<k маємо

звідки

Звідси при l=0 витікає, що

,

а при 0<l<k

Вважаючи в (2.3) l=1, знаходимо, що

З цієї нерівності видно, що для будь-якого натурального до

. (2.4)

ЛЕМА 3. Для будь-якого натурального до модуль безперервності к-го порядку є безперервною функцією від d.

Доказ: Хай Маємо

Звідси

і

Таким чином

і так як при то звідси витікає безперервність функції і лема доведена.

ЛЕМА 4. Хай до і p-натуральные числа. Тоді для будь-якого dі0

(2.5)

Доказ: Індукція по до дає формулу

Звідси

і

Лема доведена.

ЛЕМА 5. Хай к-натуральное число, d>0, h>0. Тоді

(2.6)

Якщо крім того 0<d<h, то

(2.7)

Доказ: Доведемо спершу нерівність (2.6). Розглянемо випадок для hЈd. Знайдемо натуральне число p з умов

(2.8)

Тоді h<pd-1, і так як -є неубутною функцією від h, то беручи до уваги (2.5) і (2.8), отримаємо

Розглянемо випадок для h<d. Знайдемо натуральне число p з умов

(2.9)

Тоді h<pd, і так як -є неубутною функцією від h, то беручи до уваги (2.5) і (2.9), отримаємо

,

і нерівність (2.6) доведена. Нерівність (2.7) витікає з (2.6), оскільки d+hЈ2h для 0<d<h.

Нерівність (2.7) показує, що для будь-якої fє0 і будь-якого натурального до

(2.10)

Лема доведена.

ЛЕМА 6. Хай f має r-ю похідну f(r). Тоді

(2.11)

і для будь-якого натурального до

(2.12)

Доказ: Обидві нерівності безпосередньо витікають з формули

Якщо k=0, то ми отримуємо формулу (2.11). Лема доведена.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ
Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами