Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Выполнение регрессионного и дисперсионного анализа

Построение функций

Построение теоретической функции методом наименьших квадратов

Задание 1

Используя метод наименьших квадратов найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости y= a0+a1*x. Данные приведены в таблице 5.

Таблица 5 - Данные для задания 1

N

x

y

x2 i

xi*yi

y

Е,%

1

1,00

-2,57

1

-2,57

-2,58

0,39

2

2,00

1,51

4

3,02

1,44

4,64

3

3,00

5,23

9

15,69

5,46

4,21

4

4,00

9,62

16

34,48

9,48

1,46

5

5,00

13,49

25

67,45

13,5

0,07

27,28

55

122,07

Решение:

1) Рассчитаем коэффициенты регрессионной зависимости y= a0+a1*x, с помощью системы уравнений:

a0*N +ai xi= yi

a0 xi + ai x2 i = xi*yi

  • 4a0 +15a1=27,28
  • 15a0 +55a1=122,07

a0=27,28-15a1 /5

  • 15*(27,28-15a1)/5+55 a1=122,07
  • 15*(27,28-15a1)/5+275 a1=610,35
  • 409,2-225a1+275a1=610,35
  • 50a1=201,15

a1=4,02 и следовательно из системы уравнения a0= - 6,6

2) Рассчитаем теоретическое значение выходной величины уi:

у1=-6,6+4,02*1=-2,58

у2=-6,6+4,02*2=1,44

у3=-6,6+4,02*3=5,46

у4=-6,6+4,02*4=9,48

у5=-6,6+4,02*5=13,5

3) Рассчитаем относительную погрешность по формуле: E= уi-уi / max{yi,yi}

E1= -2,57-(-2,58) /-2,58*100%=0,39 %

E2= 1,51-1,44/1,51*100%=4,64 %

E3=5,23-5,46/5,46*100%=4,21 %

E4=9,62-9,48/9,62*100%=1,46 %

E5=13,49-13,5/13,5*100%=0,07 %

4) Построим графики уi и уi

Рисунок 1 - График регрессионной зависимости y= a0+a1*x.

Задание 2

Используя метод наименьших квадратов найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости y= a0+a1*x+ a*x2. Данные приведены в таблице 6.

Таблица 6 - Данные для задания 2

N

x

y

х2

х3

x*y

х4

х2*y

y

E,%

1

1,00

6,68

1

1

6,68

1

6,68

6,86

2,6

2

1,50

11,26

2,25

3,38

16,89

5,06

25,34

11

2,31

3

2,00

16,37

4

8

32,74

16

65,48

16,45

0,48

4

2,50

23,18

6,25

15,63

57,95

39,06

144,88

23,2

0,086

5

3,00

31,29

9

27

93,87

81

281,61

31,26

0,096

6

3,50

40,53

12,25

42,88

141,86

150,06

496,49

40,62

0,22

7

4,00

51,53

16

64

206,12

256

824,48

51,29

0,47

8

4,50

63,10

20,25

91,13

283,95

410,06

1277,78

63,26

0,25

9

5,00

76,58

25

125

382,9

625

1914,5

76,54

0,05

27

320,52

96

378,02

1222,96

1583,24

5037,24

Решение:

1) Рассчитаем коэффициенты регрессионной зависимости y= a0+a1*x+ a*x2, с помощью системы уравнений:

a0*N +ai xi2 x2 i = yi

a0 xi + ai x2 i +a2 x3 i = xi*yi

a0 x2 i + ai x3 i +a2 x4 i = x2i*yi

  • 9a0 +27a1 +96а2 = 320,52
  • 27a0 +96a1 +378,02a2 =1222,96
  • 96a0 + 378,02a1+1583,24a2 = 5037,24

a0 = 320,52-27a1 -96а2 /9

  • 27*(320,52-27a1-96а2 /9)+ 96a1+378,02a2=1222,96
  • 961,56-81a1-288а2 + 96a1+378,02a2=1222,96
  • 15а1+90,02а2=261,4

а1=261,4-90,02а2/15

  • 96*(320,52-27*(261,4-90,02а2/15)-96а2)/9+378,02*(261,4-90,02а2)/15+1583,24а2= =5037,24
  • 19а2=49,61

а2=2,61 и следовательно из системы уравнения a1= 1,76, a0= 2,49

2) Рассчитаем теоретическое значение выходной величины уi:

у1=2,49+1,76*1+2,61*(1)2=6,86

у2=2,49+1,76*1,5+2,61*(1,5)2=11

у3=2,49+1,76*2+2,61*(2)2=16,45

у4=2,49+1,76*2,5+2,61*(2,5)2=23,2

у5=2,49+1,76*3+2,61*(3)2=31,26

у6=2,49+1,76*3,5+2,61*(3,5)2=40,62

у7=2,49+1,76*4+2,61*(4)2=51,29

у8=2,49+1,76*4,5+2,61*(4,5)2=63,26

у9=2,49+1,76*5+2,61*(5)2=76,54

3) Рассчитаем относительную погрешность по формуле: E= уii / max{yi,yi}

E1= 6,68-6,86/6,86*100%=2,6 %

E2= 11,26-11/11,26*100%=2,31 %

E3=16,37-16,45/16,45*100%=0,48 %

E4=23,18-23,2/23,2*100%=0,086 %

E5=31,29-31,26/31,29*100%=0,096 %

E6= 40,53-40,62/40,62*100%=0,22 %

E7= 51,53-51,29/51,33*100%=0,47 %

E8=63,10-63,26/63,26*100%=0,25 %

E9=76,58-76,54/76,58*100%=0,05 %

Построим графики уi и уi

Рисунок 2 - График для уi и уi

Задание 3

Используя метод наименьших квадратов найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости у=а01. Данные приведены в таблице 7.

Таблица 7 - Данные для задания 3

N

X

Y=U

V

V2

U*V

U=Y

E,%

1

1,00

5,16

1

1

5,16

5,34

3,37

2

1,25

4,24

0,8

0,64

3,39

3,9

8,02

3

1,50

2,88

0,67

0,45

1,93

2,98

3,36

4

1,75

1,90

0,57

0,32

1,08

2,27

16,3

5

2,00

1,88

0,5

0,25

0,94

1,77

5,85

6

2,25

1,55

0,44

0,19

0,68

1,34

13,55

17,61

3,98

2,85

13,18

Решение:

1) Рассчитаем коэффициенты регрессионной зависимости y= a0+a1/x, с помощью системы уравнений:

a0*N +a1 v= u

a0 v + a1 v2 = v*u

при этом заменим y=u и v=1/x, тогда уравнение регрессионной зависимости запишется u= a0+a1/x

  • 0+3,98а1=17,61
  • 3,98а0+2,85а1=13,18

а0= 17,61-3,98а1/6

  • 3,98*(17,61-3,98а1)/6 +2,85а1=13,18
  • 11,68-2,64а1+2,85а1=13,18
  • 0,21а1=1,5

а1= 7,14 и, следовательно, из системы уравнения a0= - 1,8

2) Рассчитаем теоретическое значение выходной величины ui:

u1=-1,8+7,14*1=5,34

u2=-1,8+7,14*0,8=3,9

u3=-1,8+7,14*0,67=2,98

u4=-1,8+7,14*0,57=2,27

u5=-1,8+7,14*0,5=1,77

u6=-1,8+7,14*0,44=1,34

3) Рассчитаем относительную погрешность по формуле: E= уii / max{yi,yi}

E1= 5,16-5,34/5,34*100%=3,37 %

E2= 4,24-3,9/4,24*100%=8,02 %

E3=2,88-2,98/2,98*100%=3,36 %

E4=1,9-2,27/2,27*100%=16,3 %

E5=1,88-1,77/1,88*100%=5,85 %

E6= 1,55-1,34/1,55*100%=13,55 %

4) Построим графики уi и уi:

Рисунок 3 - Графики для уi и уi:

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ
Выполнение регрессионного и дисперсионного анализа