Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Выполнение регрессионного и дисперсионного анализа

Задачи регрессионного анализа

Регрессия -- зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины или от нескольких величин.

Задача регрессионного анализа заключается в восстановлении функциональной зависимости y(x) по результатам измерений.

В регрессионном анализе предполагается, что можно прямо или косвенно контролировать одну или нескольких переменных x1 , x2….xn, и их значение вместе с множеством параметров Q1,Q2….Qn определяющие математическое ожидание зависимой переменной i . Задача состоит в вычислении оценок параметров с помощью выборочных данных.

Постулаты регрессионного анализа:

1 постулат: Параметр оптимизации y есть случайная величина с нормальным законом распределения.

Дисперсия воспроизводимости - одна из характеристик этого закона распределения.

  • 2 постулат: Дисперсия y не зависит от абсолютной величины y.
  • 3 постулат: Значения факторов суть неслучайной величины.

Метод наименьших квадратов

Этот метод был развит усилиями Лежандра и Гаусса, более 150 лет назад. Метод наименьших квадратов (МНК) является самым распространенным, хотя не единственным метом усреднения.

Если дано у=b0+b1*x1 - уравнение прямой линии. Надо вычислить коэффициенты b0,b1.

Для этого уравнение приравнивается к нулю yi - b0-b1*x1*xi=0, где i=1,2,…N (N-номер опыта) или yi - b0-b1*x1*xii, где Еi - невязка, то есть разность между экспериментальным и вычисленным по уравнению регрессии значениям у в i-й экспериментальной точке. Невязка возникает по двум причинам: из-за ошибки эксперимента и из-за модели.

Надо найти коэффициенты регрессии, при которых невязка будет минимальной:

U= Е2i=min, который приводит к методу наименьших квадратов.

МНК обладает следующим свойством: он делает определенной любую произвольную систему уравнений равную числу неизвестных коэффициентов. Для определения двух неизвестных коэффициентов требуется два уравнения, например, для уравнения y= a0+a1*x, с двумя неизвестными коэффициентами используется система уравнений:

a0*N +ai xi= yi

a0 xi + ai x2 i = xi*yi

Для определения трех неизвестных коэффициентов требуется три уравнения, например, для уравнения y = a0+a1*x+ a*x2 , с тремя неизвестными коэффициентами используется система уравнений:

a0*N +ai xi+а2 x2 i = yi

a0 xi + ai x2 i +a2 x3 i = xi*yi

a0 x2 i + ai x3 i +a2 x4 i = x2i*yi

МНК для обратной зависимости

y= a0+a1/x.

Чтобы найти два неизвестных коэффициента используется система уравнении:

a0*N +ai 1/xi= yi

a0 1/xi + ai 1/x2 i =yii

Порядок расчета задач методом наименьших квадратов:

Строится таблица (таблица 1)

Таблица 1 Пример, построения таблицы для данных задачи МНК

N

xi

y1i

ymi

yi

S2{y}

yi

E,%

1

х1

2

х2

3

х3

4

х4

N

хN

где xi- входные величины,

уi- выходные величины,

N - количество уровней варьирования фактора,

M - количество параллельных опытов,

y1i - первый опыт,

yi - среднее в серии,

S2{y} - дисперсия в серии.

Строится экспериментальный график, по которым делается предположение о виде линии регрессии.

Решается система уравнений, и определяются оценку и коэффициентов регрессионной зависимости

Считается теоретическое значение выходной величины (yi)

5) Считается относительная погрешность по формуле:

E= уii / max{yi,yi}

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ
Выполнение регрессионного и дисперсионного анализа