Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Изучение распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Введение

В решении любой прикладной задачи можно выделить три основных этапа:

  • · Построение математической модели исследуемого объекта
  • · Выбор способа и алгоритма решения полученной модели
  • · Численная реализация алгоритма

Цель данной работы - на примере исследования распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне освоить основные методы приближенных вычислений, приобрести практические навыки.

Самостоятельных исследований, существенно опирающихся на использование методов прикладной математики.

Физическая модель

При решении некоторых практических задач возникает необходимость исследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня, помещенного в высокотемпературный поток жидкости или газа. Такое исследование можно проводить на основе обработки эксперимента (измерение температуры в различных точках стержня) или путем анализа соответствующей математической модели.

В настоящей работе используется оба подхода.

В нашем случае, тонкий цилиндрический стержень помещен в постоянный тепловой поток (с температурой ). На концах стержня поддерживается постоянная температура .

Математическая модель

Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с началом в середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределение температуры по стержню)

После момента установление режима .

Первая математическая модель использует экспериментальные данные, при этом измеряют температуру стержня в нескольких точках стержня с координатами . Результаты измерения рассматривают как функцию регрессии и получают статистики. Учитывая четность можно искать ее в виде многочлена по четным степеням (ограничимся 4-ой степенью этого многочлена).

(1.1)

Задача сводится к отысканию оценок неизвестных параметров, т.е. коэффициентов и , например, методом наименьших квадратов.

Вторая математическая модель основана на использовании закона теплофизики. Можно доказать, что искомая функция имеет вид:

(1.2)

Где - коэффициент теплопроводности, -коэффициент теплоотдачи, -диаметр стержня, -температура потока, в который помещен стержень.

Ищем как решение краевой задачи для уравнения (1.2) с граничными условиями:

(1.3)

На отрезке , где L-длина стержня, - постоянная температура, поддерживаемая на концах стержня.

Коэффициент теплопроводности зависит от температуры:

(1.4)

где - начальное значение коэффициента теплопроводности, -вспомогательный коэффициент.

Коэффициент теплоотдачи вычисляют по формуле:

(1.5)

Т.е. как среднее значение функции

за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь - значение при t стремящемся к бесконечности, b - известный коэффициент.

Время , по истечении которого распределение температуры в стержне можно считать установившимся определяется по формуле:

(1.6)

где а - коэффициент температуропроводности, - наименьший положительный корень уравнения:

(1.7)

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ
Изучение распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне