Деякі застосування потрійних інтегралів

Задачі механіки. Нехай речовину неперервно розподілено в тривимірній області G з густиною (x,y,z) = (N). Розділемо G на елементарні частини. Маса відповідної елементарної частини дорівнює dm = dV , де dV = dxdydz - елемент об'єму в декартовій системі координат. Елементарні статичні моменти відносно координатних площин визначаються рівностями dM = zdm ; dMyz = xdm ; dM = ydm. Після граничного переходу маса і статичні моменти тіла, якому відповідає область G, визначаються відповідними формулами:

(3.5)

Координати центра маси (xc,yc,zc) тіла задовольняють співвідношення

(3.6)

згідно з визначенням цього поняття.

Елементарні моменти інерції відносно координатних осей дорівнюють:

dlx = (у2 + z2 )dm; dlv = (х2 + z2 )dm ; dlz =(x2 + у2 )dm ,

де у+z,x+z,x+y - квадрати віддалей точки N(x, y,z) від відповідної вісі Ох, Оу , Oz . Згідно з визначенням, моментом інерції системи точок відносно осі називають суму добутків мас цих точок на квадрати їх віддалі до осі. Отже, моменти інерції всього тіла дорівнюють:

(3.7)

Момент інерції тіла відносно початку координат:

(3.8)

Приклад. Знайти центр маси однорідного тіла, обмеженого параболоїдом 2z = х2 + у2 і кулею х2 + у2 + z = 3 .

Розв'язання. Маємо тіло обертання навколо осі Oz (рис. 3.4). Тіло однорідне, тому візьмемо (x,y,z) = 1. Оскільки вісь Oz є віссю симетрії тіла, то хс = ус. = 0. Отже, шуканою є величина zc

Рис. 3.4

Але спочатку знайдемо проекцію лінію перетину даних поверхонь з системи:

формулою (3.5) маємо:

У повторному інтегралі перейшли до полярної системи координат:

За формулою (3.6) обчислимо аналогічно статичний момент:

За формулою (3.6) обчислюємо:

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Загрузить   След >