Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Застосування подвійного і потрійного інтегралів

Заміна змінних у потрійному інтегралі

Нехай обмежена, правильна, замкнена область G простору (х, y,z) взаємно однозначно відображається на область G* простору (u,v,w) за допомогою неперервних диференційованих функцій: х = x(u,v,w) ; у = у(u,v,w) і z = z(u,v,w) і якобіана відображення I(u,v,w) відмінного від нуля.

Тобто

(2.4)

Матимемо формулу заміни змінних у потрібному інтегралі:

(2.5)

(див.рис. 2.3)

(див.рис.2.4)

Рис. 2.4

Рис. 2.3 Рис. 2.4

Обчислення потрійного інтегралу в циліндричних або сферичних координатах рекомендується проводити, якщо область G обмежена циліндричними або сферичними поверхнями. У цьому випадку повторний інтеграл у формулі (2.5) матиме сталі границі інтегрування, що значно спрощує їх обчислення.

Приклад. Обчислити

де G - обмежена площинами х =0,

у = 0, z = 4 і параболоїдом обертання z = х + у , використовуючи циліндричну систему координат.

Розв'язання. Обчислимо якобіан відображення прямокутної системи координат у циліндричну:

(2.6)

Оскільки область G проектується в область D на площину Оху (рис.2.2, б) у чверть кола х2+у2=4, то координата змінюється в межах від 0 до / 2 , координата - від 0 до 2. Область G обмежена знизу параболоїдом, а зверху - площиною, тому z = р2 і z2 =4 . Підставимо знайдене у (2.5) і з (2.6) отримаємо:

Приклад. Обчислити

,

де G - область,обмежена параболоїдом z = х + у , циліндром х + у =4 і координатною площиною z = 0 .

Розв'язання. Область G проектується на площину хОу в область D (рис. 2.5), яка являє собою коло, радіус якого одиниця

Рис. 2.5

Тому даний інтеграл доцільно обчислювати в циліндричній системі координат. За формулами (2.5) і (2.6) маємо:

Приклад. Обчислити

,

де G- область, обмежена частиною сфери х+ у +z = 4 , розташованою у першому октанту.

Розв'язання. У даному випадку перейдемо до сферичної системи координат. Якобіан відображення прямокутної системи координат у сферичну має вигляд:

(2.7)

Загальну рекомендацію щодо застосування тієї чи іншої системи координат дати складно. Це залежить як від області інтегрування, так і від вигляду підінтегральної функції.

подвійний інтеграл графік

Розділ 3.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ
Застосування подвійного і потрійного інтегралів