Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Застосування подвійного і потрійного інтегралів

Обчислення подвійного інтегралу

Обчислення подвійного інтегралу. Обчислення подвійного інтегралу за формулою (1.2) як границі інтегральної суми, так само як і у випадку визначеного інтегралу, пов'язане із значними труднощами. Щоб уникнути їх, обчислення подвійного інтегралу зводять до обчислення так званого повторного інтегралу - двох звичайних визначених інтегралів.

Покажемо, як це робиться. Припустимо, що при (х; у) Dфункція f(х,y0. Тоді подвійний інтеграл виражає об'єм циліндричного тіла (рис. 1.2) з основою О, обмеженого зверху поверхнею z = f(х,у). Обчислимо цей об'єм за допомогою методу паралельних перерізів:

V = (1.3)

де S(х) - площа перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі Ох. Перед тим, як обчислити площу зробимо певні припущення відносно області D.

Рис. 1.3

Рис. 1.2 Рис. 1.3

Припустимо спочатку, що область інтегрування D обмежена двома неперервними кривими у =; та у = і двома прямими а та b, причому для всіх (рис. 1.3).

Проведемо через точку (х; 0), де (а;b), пряму, паралельну вісі Оу. Ця пряма перетинає криві (х) та (х) в точках і , які називатимемо відповідно точкою входу в область D і точкою виходу з області D. Ординати цих точок позначимо відповідно увх та увих, тоді

Визначена таким чином область називається правильною в напрямі вісі Оу. Інакше кажучи, область D називається правильною в напрямі вісі Оу, якщо довільна пряма, яка проходить через внутрішню точку області D паралельно вісі Оу, перетинає межу області не більше, ніж у двох точках.

Знайдемо тепер площу S (х). Для цього проведемо через точку (х; 0; 0) площину, перпендикулярну вісі Ох (рис. 1.2). У перерізі цієї площини і циліндричного тіла утворюється трапеція С1М1М2С2. Апліката z = f(x,y) точки лінії М1М2 при фіксованому х є функцією лише у, причому у змінюється в межах від увх = (х) до увих = (х).

Площа S (х) трапеції С,М,М2С2 дорівнює визначеному інтегралу:

S(x)= .

Підставивши знайдене значення S (х) у формулу (1.3) враховуючи формулу (1.2), дістанемо:

або в зручнішій формі:

(1.4)

Це і є шукана формула для обчислення подвійного інтеграла. Вираз, який стоїть праворуч у формулі (1.4) є повторний інтеграл. У повторному інтегралі інтегрування виконуємо спочатку по змінній у (при цьому змінна х вважається сталою), а потім по змінній х. Інтеграл по змінній у називають внутрішнім, а по змінній х - зовнішнім. У результаті обчислення внутрішнього інтегралу (в межах від (х) до (х)) одержуємо певну функцію від однієї змінної х. Інтегруючи цю функцію в межах від а до b, тобто обчислюючи зовнішній інтеграл, дістаємо деяке число - значення подвійного інтегралу.

Зауваження 1. Наведені геометричні міркування при одержанні формули (1.4) зроблені у випадку, коли f(x,y)> 0, (х,у) є D. Проте формула (1.4) залишається справедливою і в загальному випадку. Строге доведення цієї формули ми опускаємо.

Зауваження 2. Якщо область D обмежена двома неперервними кривими і двома прямими у = с, у = d (с < d), причому для всіх ,тобто якщо область D правильна в напрямі осі Ох (рис.4.4), то справедлива формула

(1.5)

Рис. 1.4

Тут внутрішнім є інтеграл по змінній х. Обчислюючи його в межах від (при цьому у вважається сталою), дістанемо деяку функцію від однієї змінної у. Інтегруючи потім цю функцію в межах від с до d, дістанемо значення подвійного інтегралу.

Зауваження 3. Якщо область D правильна в обох напрямах, то подвійний інтеграл можна обчислювати як за формулою (1.4), так і за формулою (1.5). Результати матимемо однакові.

Зауваження 4. Якщо область не є правильною ні в напрямі осі Ох, ні в напрямі осі Оу (тобто існують вертикальні і горизонтальні прямі, які, проходячи через внутрішні точки області, перетинають її межу більше, ніж у двох точках), то таку область необхідно розбити на частини, кожна з яких є правильною областю у напрямі осі Ох чи вісі Оу.

Обчислюючи подвійні інтеграли по правильних областях і додаючи результати (властивість адитивності), знаходимо шуканий подвійний інтеграл по області D.

Рис. 1.5

Приклад. Область D обмежена еліпсами + у2 /4 = 1, х2 / 4 + у2 /16 = 1 і прямою х = 3/4 .

При інтегруванні в напрямі осі Оу область D складається з трьох частин ( рис. 1.5, а ).

При інтегруванні в напрямі осі Ох область D складається з семи частин ( рис. 1.5, б ).

Зауваження 5. Повторні інтеграли у формулах (1.4) і (1.5) називаються інтегралами з різним порядком інтегрування. Щоб змінити порядок інтегрування, потрібно від формули (1.4) перейти до формули (1.5), або навпаки.

У кожному конкретному випадку, залежно від вигляду області D та підінтегральної функції f(x, у), треба обирати той порядок інтегрування, який приводить до простіших обчислень.

Зауваження 6. Правильну в напрямі осі Оу або осі Ох область D позначаємо відповідно:

.

Приклад. Обчислити подвійний інтеграл y2dxdy, якщо D область D міститься в першій чверті і обмежена лініями х = 0 , у = х, y= 2-х .

Розв'язання.

Область інтегрування D зображено на рис. 1.6. Функція f(x, у) = ху неперервна в даній області. Обчислення даного подвійного інтегралу можна виконати за формулою (1.4), так і за формулою (1.5).

Область D правильна в напрямі осі Оу, тобто D: {xJ уJ 2- х2, OJ xJ 1}, тоді за формулою (1.4) маємо:

Рис. 1.6

Приклад. Змінити порядок інтегрування у повторному інтегралі: 1 = .

Розв'язання. Тут потрібно перейти від обчислення повторного інтегралу за формулою (1.5) до обчислення даного інтегралу за формулою (1.4). За даним інтегралом знайдемо область D.

Рис. 1.7

Область інтегрування D обмежена лініями: у = 0, у = 1, х = 0, х = еу або у=lnx (рис. 1.7). Якщо внутрішнє інтегрування провести по у, а зовнішнє - по х, то дану область D треба розглядати як правильну в напрямі осі Оу. Оскільки лінія, на якій містяться точки входу в область, дана двома різними рівняннями, то цю область треба розбити на дві частини D1, і D2.

Маємо: D, : {0J у J 1, 0 J xJ 1} D, : {lnxJ у J 1, 1J xJ e).

Даний інтеграл дорівнюватиме сумі двох інтегралів:

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ
Застосування подвійного і потрійного інтегралів