Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Застосування кратних та криволінійних інтегралів

Механічний зміст криволінійного інтегралу ІІ-го роду

Робота сили

Якщо - сила, яка вздовж кривої L змінюється по величині та напрямку , то при переміщенні матеріальної точки одиничної маси під дією цієї сили виконується робота:

Робота тоді і тільки тоді не залежить від шляху L, з'єднуючого дві точки, коли підінтегральний вираз є повним диференціалом деякої функції U(x,y,z) (так званого потенціалу силового поля). В цьому випадку робота обчислюється як різниця потенціалів в у даних точках.

2. Приклади задач

Змінити порядок інтегрування:

Розв'язання:

Побудуємо область D, враховуючи межі інтегрування:

Рис. 2

Ця область обмежена лініями:

Спроектуємо область D на вісь Ох. Це буде відрізок [0,2] (рис.2). Область D розбивається на дві частини.

Маємо

Отже маємо:

Площа фігури за допомогою подвійного інтегралу:

Знайти площу області, обмежену астроїдою (рис.3):

В результаті введення криволінійних координат:

Отримуємо:

Об'єм тіла за допомогою подвійного інтегралу:

Знайти об'єм тіла, що обмежене поверхнями:

Розв'язання:

Побудуємо тіло:

Рис. 4

Об'єм тіла обчислюється за формулою:

Областю інтегрування буде трикутник на площині хОу, що є проекцією.

Отже:

Обчислимо внутрішній інтеграл:

Тепер обчислимо об'єм:

Площа поверхні за допомогою подвійного інтегралу:

Обчислити площу тієї частини поверхні що знаходиться у першому октанті та обмежена площиною

Розв'язання:

Побудуємо тіло:

Рис. 5

Спроектуємо поверхню на площину xOz. Проекцією поверхні є чверть кола:

З рівняння задачі

Щоб скористатися формулою, знайдемо частинні похідні:

Тому:

З рівняння кола видно, що радіус дорівнює

Введемо полярні координати:

Обчислимо внутрішній інтеграл:

Остаточно:

Фізичний зміст подвійного інтегралу:

Знайти координати центра маси однорідної області, обмеженої верхньою частиною еліпса, що спирається на велику вісь.

Розв'язання:

Оскільки верхньою частиною еліпса є фігура, симетрична відносно вісі Оу, то центр маси знаходиться на Оу (рис. 6), тобто х=0.

Рис. 6

Знайдемо:

Отже:

Фізичний зміст криволінійного інтегралу І-го роду:

Знайти масу дуги кривої:

якщо лінійна густина змінюється за законом:

Розв'язання:

Фізичний зміст криволінійного інтегралу ІІ-го роду:

Обчислити роботу сили:

При переміщенні одиниці маси по L: пряма О(0,0) А(5,3).

Розв'язання:

Запишемо рівняння прямої:

Рис. 7

Введемо параметр t:

Звідси:

Використаємо формулу:

Маємо:

Отже:

  • 3. Виконання курсової роботи
  • 1. Змінити порядок інтегрування

Розв?язання:

Побудуємо область інтегрування.

рис. 8

Розв?язання:

Побудуємо область інтегрування.

рис. 9

2. За допомогою подвійного інтеграла обчислити площу фігур,обмежених лініями

; ;

Розв?язання:

Побудуємо фігуру, площу якої потрібно обчислити (рис.10).

рис. 10

Знаходимо межі інтегрування:

;

Тоді,

3. За допомогою подвійного інтеграла обчислити об?єм тіла, обмеженого поверхнею:

Розв?язання:

Об'єм знаходимо за формулою:

Побудуємо задане тіло:

рис 11.

Знаходимо функцію z(x,y):

Користуючись рис 11. знаходимо межі інтерування:

Отже:

При інтегруванні по y змінна x вважається постійною. Зручно для скорочення запису величину замінити на тобто:

1? ;

Звідси виходить:

t=2;

Отже:

4. Обчислити площу поверхні:

Розв?язання:

Побудуємо задану поверхню (рис.12):

рис. 12

Обчислюватимемо за формулою:

Отже:

; ;

Знайдемо похідні:

Отримаємо:

Знаходимо межі інтерування:

Отже:

5. Визначити центр ваги площі:

Однорідної фігури, що лежить в першій чверті та обмеженої еліпсом

інтеграл площа об'єм криволінійний

та координатними осями.

Розв?язання:

Побудуємо фігуру:

рис. 13

Для визначення центра ваги використовуємо формули:

Знайдемо межі інтегрування:

Знайдемо масу:

Знайдемо статичні моменти:

6. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду:

Розв?язання:

Знайдемо межі інтегрування:

Оскільки дано коло, то:

;

Перейдемо до полярних координат:

При переході формула набуде вигляду:

Знайдемо похідну:

Отже:

7. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду по заданій кривій L:

Розв?язання:

Побудуємо відрізок:

Рис. 14

Знайдемо dl:

Отже:

8. Обчислити інтеграл I вздовж кривої L:

Розв?язання:

Побудуємо рисунок:

рис. 15

Межі інтегрування:

Знайдемо функцію y(x):

;

Знайдемо похідну функції:

Знайдемо ds:

Отже:

Для обчислення цього інтегралу зручно виконати підстановку:

Тоді:

Враховуючи, що:

Відповідь:

9. За допомогою криволінійного інтеграла другого роду обчислити:

Площу, обмежену кривою

Вказівка: перейти до параметричних рівнянь, вводячи параметр t

підстановкою

Розв?язання:

Введемо параметр t:

Знайдемо x:

;

Знайдемо y:

Для обчислення площі використовуємо формулу:

Побудуємо криву:

Рис. 16

Знайдемо dx та dy:

Отже:

10. Поле утворено силою . Обчислити роботу при переміщенні одиниці маси по контуру L, якщо:

Розв?язання:

Побудуємо контур L:

Рис. 17

Запишемо рівняння прямої у параметричному вигляді:

Звідси маємо:

Знайдемо значення роботи:

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ
Застосування кратних та криволінійних інтегралів