Линейные уравнения и системы линейных уравнений над кольцом целостности

Математическое предположение, которое может быть только истинным, или ложным, «существует столбец значений неизвестных такой, что соответствующие этому столбцу значения линейных выражений f b h равны» записывается с помощью знака равенства в следующей форме:

(21)

Формула (21) с учетом ее смысла называется линейным уравнением над кольцом целостности В. Линейное выражение, находящееся в формуле (21) слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, находящееся с права - его правой частью. Элементы b0 и c0 называют свободными членами, элементы b1, …, bn, c1, …, cn называются коэффициентами (при соответствующих неизвестных).

О неизвестных x1, …, xn говорят, что они входят в линейное уравнение (21). О неизвестном xн (н = 1, …, n) говорят, что оно существенно входит в линейное уравнение (21), если bн ? cн, то говорят, что неизвестное входит в линейное уравнение (21) несущественно.

Если существует столбец над кольцом В такое, что соответствующие этому столбцу значения левой и правой частей линейного уравнения (21) равны, то столбец К называется решением линейного уравнения (21), а о самом линейном уравнении говорят, что оно разрешимо. Решение линейного уравнения записывают не только в виде столбца К, но и в виде строки КТ и, еще, в виде системы равенств

Пусть задано s ? 2 пар линейных выражений над кольцом целостности В: , где н =1, …., s. Математическое предположение, которое может быть только или истинным, или ложным, «существует столбец значений неизвестных такой, что соответствующие этому столбцу значения линейных выражений fн и hн равны для всех указанных значений индекса н» записывается в форме упорядоченной (сверху вниз) системы s равенств

(22)

…………………………………………………………

Упорядоченная система равенств (22) с учетом ее смысла, придаваемого ей предыдущим предложением, называется системой линейных уравнений над кольцом целостности В.

Преобразование систем линейных уравнений

ЭПС-1 Умножение уравнения системы на элемент еG

ЭПС-2 Прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на элемент qB.

Элементарные преобразования систем линейных уравнений обладают следующими свойствами, доказательства которых тривиальны.

  • 1. Каждое ЭПС обратимо
  • 2. Каждое ЭПС преобразует систему линейных уравнений в равносильную.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

(23)

……………………………………

Пусть А - матрица коэффициентов системы линейных уравнений (23), В - столбец свободных членов той же системы линейных уравнений. Системе линейных уравнений (23) взаимно однозначно соответствует блочная матрица , которая называется расширенной матрицей системы, и столбец неизвестных Х. С помощью введенных матриц систему линейных уравнений (23) можно записать в матричной форме

АХ = В(24)

которая называется матричным уравнением. Два матричных уравнения с одним и тем же столбцом неизвестных называются равносильными, если их общие решения совпадают.

Теорема. Пусть две системы линейных уравнений записаны в матричных формах. Если системы линейных уравнений равносильны, то соответствующие им матричные уравнения равносильны, и обратно.

Доказательство тривиальным образом вытекает из определения равносильности систем линейных уравнений и равносильности матричных уравнений.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Загрузить