Евклидовы кольца

Кольцо целостности Е называется евклидовым, если на множестве Е можно определить функцию е, значение которой является целыми неотрицательными числами, таким образом, что выполняются следующие аксиомы:

Е1. если a b, то е(а) е(b),

Е2. для любых a и b 0 найдутся элементы q, rЕ такие, что имеет место равенство а = bq+ r при выполнении условия r = 0 или е(r) е(b).

Представление элемента а через элемент b 0 в виде правой части равенства а = bq+ r с условием r = 0 или е(r) е(b) называется делением с остатком а и b; элемент q называется неполным частным и элемент r - остатком, независимо от того, равен нулю элемент r или не равен.

Функция е называется евклидовой нормой. Евклидова норма определяется аксиомами Е1 и Е2 неоднозначно. Свойства евклидовой нормы:

1. Если с и а 0, то е(с) = е(а).

Доказательство. Из условия ассоциированности ненулевых элементов с и а следует, что а с и с а. Из этих отношений делимости и аксиомы Е1 вытекают неравенства е(а) е(с) и е(с) е(а), следствие которых является доказываемое равенство.

2. Если с а и е(с) = е(а), то с и a - ассоциированные элементы.

Доказательство. Разделим с остатком а на с:а = сq+r. Если предположим, что r 0, то е(r) е(а). С другой стороны, из условия с а следует, что r а и е(r) е(а). Из полученного противоречия следует, что r=0. Но тогда a с, и элементы а и с ассоциированы

3. е(с) = е(1) тогда и только тогда, когда сG.

Доказательство. Достаточность условия вытекает из свойства 1 при а = 1, необходимость условия вытекает из свойства 2 при а = 1.

4. если еG, е(е) = е1.

Доказательство. Пусть для некоторого с верно равенство е(с) = е1. Так как с е, то из аксиомы Е1 следует неравенство е(е) е(с) (=е1). Вследствие минимальности числа е1 как значения евклидной нормы от сюда следует, что е(е) = е1

5. Если а не является элементом G, то е(а) е1

Доказательство проведем от противного. Допустим, чтое(а) = е1. Тогда, в силу свойства 4, е(а) = е(е). Отсюда с учетом отношения делимости а е и свойства 2 следует аG, что противоречит условию. Следовательно, свойство 5 верно

6. Если с а и с не ассоциировано с а, то е(с) е(а).

Доказательство вытекает из свойства 2 и аксиомы Е1

7. В евклидовом настоящем кольце множество значений евклидовой нормы бесконечно.

Доказательство. В евклидовом настоящем кольце содержится по крайней мере один регулярный элемент а. В силу свойства 6 последовательность значений евклидовой нормы е(а), е(а2), …, е(аS), … монотонно возрастает и не ограничена сверху

Пусть n - натуральное число и а1, …, ан, …, аn - произвольная система элементов произвольно взятого кольца целостности, содержащая по крайней мере один ненулевой элемент. Такие системы элементов мы будем называть ненулевыми в отличие от нулевых систем элементов, содержащих только нули. Общие делители элементов системы а1, …, ан, …, аn всегда существуют; таковым, например, является любой обратимый элемент кольца целостности.

Теорема (о существовании наибольшего общего делителя (НОД)). В евклидовом кольце Е для элементов каждой ненулевой системы вида а1, …, ан, …, аn существует НОД; каждый НОД элементов такой системы можно представить в виде линейной комбинации, составленной из элементов этой системы с коэффициентами из кольца Е.

Доказательство. Для исключения небольших тривиальных осложнений будем предполагать, что система а1, …, ан, …, аn не содержит нулей. Рассмотрим линейную форму над Е

(1)

c n 1 неизвестными. На множестве всех ненулевых значений линейной формы евклидова норма е принимает свое наименьшее значение; пусть оно достигается при , н = 1, …,n. Положим

(2)

Докажем, что для всех н = 1, …, n. С этой целью разделим на с остатком коэффициент на :

(3)

Предположение о том, что , приводит к противоречию. Действительно, исключая из равенства (3) при помощи равенства (2), получаем новое выражение для :

(4)

которое представляет собою значение линейной формы . В силу минимальности числа е() как значения е() имеет место неравенство е()е(), противоречащее неравенству е()е(), вытекающему из уравнения (3) и аксиомы Е2 из определения евклидового кольца. Следовательно, = 0 и для всех указанных выше значений индекса н. Поэтому является общим делителем системы а1, …, ан, …, аn.

Так как любой общий делитель тех же элементов делит правую часть (2), то ; следовательно является НОД системы а1, …, ан, …, аn. Одновременно с существованием НОД доказано второе утверждение теоремы о возможности линейного представления НОД - это следует из формулы (2).

Теорема. Если S2 и , то .

Доказательство. и Достаточно доказать, что . Нетрудно убедиться в том, что имеют место следующие отношения делимости: и . Из них непосредственно следует, что . С другой стороны, очевидно, что является общим делителем элементов ; поэтому . Следовательно, элементы и ассоциированы.

Элементы при n 2 называются взаимно простыми, если . Отметим следующие свойства НОД двух и более элементов, большинство которых связано с понятием взаимной простоты элементов системы.

  • 1. Если , то для любого с 0 имеет место отношение принадлежности .
  • 2. Если , то .
  • 3. При n 2 равенство имеет место тогда и только тогда, когда .
  • 4. Если и , то
  • 5. Если , и , то

Вернемся к рассмотрению системы элементов вида

(5)

где n 1. Будем предполагать, что среди элементов системы (5) нет нулей. Элемент m? 0 такой, что m? ai, i=1, …, n, называется общим кратным системы (5), если n 2, и кратным элемента ai, если n=1. Общие кратные любой системы ненулевых элементов существуют; например, их общим кратным является их произведение. Наибольшим общим кратным (НОК) системы (5) называется такое их общее кратное, на которое делится любое их общее кратное.

Теорема (о существовании НОК) В евклидовом кольце Е для каждой ненулевой системы элементов (5) существует НОК.

Доказательство. Пусть М - множество всех общих кратных элементов системы (5). На множестве М значения евклидовой нормы е(х) достигают своего минимума и пусть этот минимум достигается при х = m. Произвольно взятое разделим с остатком на m: m1 = mq + r. Предположение о том, что r 0, сразу приводит к противоречию: в силу свойства 2 делимости , в силу аксиомы Е2 имеем неравенство е(r) е(m), противоречащее минимальности е(m) на множестве М. Поэтому r = 0, ,следовательно, m есть НОК элементов системы (5)

Теорема (о связи между НОК и НОД). Пусть и , , тогда .

Доказательство. Элементы a и b представим в виде

,(6)

где

(7)

Пусть m1 - произвольное общее кратное элементов a и b. По определению общего кратного m1 = aq = bt. Исключая из этих равенств a и b при помощи равенства (6), получаем равенства

m1 = a1dq = b1dt(8)

Из правого равенства (8) следует a1q = b1t. Отсюда и из равенства (7) получаем q = b1s. Подставляем это выражение для q в левое из равенств (8), получаем равенство m1 = b1d s. Такой вид имеют все общие кратные элементов a и b. При s = е общее кратное

m = еa1b1d(9)

обладает очевидным свойством: для любого общего кратного m1 элементов a и b имеет место отношение делимости m1 m. Поэтому . Умножая равенство (9) на d и используя равенство (6), получаем требуемый результат: md = еab

Теорема. Если s ? 2 и , то

Теорема. В евклидовом кольце каждое множество элементов, имеющих одно и то же значение евклидовой нормы, конечно тогда и только тогда, когда группа обратимых элементов этого кольца конечна.

Доказательство. Необходимость условия тривиальным образом вытекает из свойства евклидовой нормы 1. Для доказательства достаточности условия применим индукцию по порядковому номеру значений евклидовой нормы, расположенных в порядке монотонного возрастания. Неравенству е(х) ? е1 удовлетворяют только обратимые элементы (см. свойство евклидовой нормы 3), количество которых конечно по условию. Предположим, что для произвольного n ? 1 неравенству е(х) ? еn удовлетворяет лишь конечное число значений переменного х, и докажем, что неравенству е(х) ? еn+1 также удовлетворяет лишь конечное число значений переменного х. Будем доказывать это от противного: допустим, что неравенству е(х) ? еn+1 удовлетворяет бесконечно много попарно различных значений переменного х. Из этого допущения следует, что существует бесконечная последовательность х1, …, хн, … попарно различных элементов евклидового кольца такая, что выполняется равенство с(хн) = еn+1 для нN. Произвольно выбираем элемент a с одним условием: е(a) = еn+2, что возможно в силу 7 свойства евклидовой нормы. Выбранный элемент a делим с остатком на хн и получаем последовательность равенств

(10)

где

(11)

По предположению индукции существует лишь конечное число попарно различных элементов r н, удовлетворяющих условию (11). Поэтому существует бесконечная подпоследовательность

(12)

последовательности х1, …, хн, …, для элементов которой в равенстве (10) будет одно и тоже значение остатка для всех s N. Отсюда непосредственно следует, что имеет место бесконечная цепочка равенств . Таким образом члены бесконечной последовательности (12) являются попарно различными делителями элемента a - r. С другой стороны, из предположения о конечности группы G следует, что полное число делителей элемента a - r ? 0 равно gф(a - r) r. Полученное противоречие говорит о том, что неравенству е(х) ? еn+1 удовлетворяет лишь конечное число значений переменной х. Шаг индукции и теоремы доказан.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Загрузить   След >